拉普拉斯变换
为什么现在没有真正的理论数学家了？
以前有牛顿、欧拉、高斯等等 一大堆理论数学家，可谓群星闪耀！他们发现和创造出各种令人惊叹的数学原理公式。比如拉普拉斯变换等。那么现在世界上 还有这种级别的理论数学家吗？ 我认为没有了…大家怎么看？
拉普拉斯变换公式表
远古时代有这么一个传说，当你发现你身边有个小矮子叫柯南的，那么赶紧跑，越远越好，否则你一定会挂逼的。
信号分析界也有这么一个传说，当你发现你选修的专业中有个叫拉普拉斯变换的章节，那么也不用跑了，因为你已经挂科了。
拉普拉斯变换是门很复杂的理论，工程上的主要的应用场景就是从少量收集回来的断断续续信息中还原原始信号的真相。
我们来思考一个问题，一个画家勾勒了一幅美女的肖像图，图上只有眼睛嘴唇和耳朵，其它都是一片空白。画像上虽然没有画全，但是只要我们发挥想象，美女的样貌也基本八九不离十了。
信号也是一样。我们用AD采集回来的离散点都是时间上分散的，但是从这些离散的采集点上通过拉普拉斯变换也是可以不失真地还原原本连续的信号波形。
先上一张图。
无变换前的原始波形
这个是我在某宝上搞的一款freetest无线示波器，波形可以在手机屏幕上显示。
示波器可以自由开关高频模式下的拉普拉斯变换分析。从上图采集回来的高频波形来看啥东西都看不出来。这个当然么，500M的采样率去采集200M的波形，必然只能采集到断断续续的波形。
然后我们把其中一路的拉普拉斯变换开启开来，另一路维持不变。
开启一路变换后的波形图
隐藏的真实信号立马浮出水面。玩通信的朋友应该一眼就可以看出来，这就是一个8倍的调幅信号。从示波器的测量上可以看出来，承载的基波频率是33M。
你以为示波器100M的采样率就不能完全采集33M的波形么。NO，NO，you are too young too simple。
当然还原信号的真相是有理论前提的。就和普通的刑事案件推论一样，是基于个人过节啊，商业利益啊等一定的伦理。
信号还原的理论前提：自然界一切信号波形都是正弦波（余弦波）的集合。对，没错，是一切，包括啥三角波啊，方波啊之类。
好了，我们来看下拉普拉斯的理论描述，这个让我们看着头痛的东西。
【拉普拉斯变换】
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉氏变换英文名为Laplace Transform，为法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,Pierre-Simon,marquisde）创立。主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换。
机械变换
牛逼的机械傅里叶变换。
机械变换构造
积分实际上就是内积运算，而我们知道，向量a与方向向量i的内积，就是a在i方向上的投影。如果向量a和不同方向的向量分别求内积，得到的就是在各个方向上的分量。
如果方向向量满足正交，完备， 则这组向量是一组基。
不论是傅里叶，拉普拉斯，还是z， 都在做积分运算，而且都是和某一类函数做积分。
积分就是内积，就是投影。换句话说，原函数被分解为一系列函数的线性叠加。
那么这一系列函数，其实就是基向量（在此不做证明），区别于三围空间的是，这一组基有无穷多个。
Fourier 是分解到正弦函数
Laplace 是分解到幅度指数变化的正弦函数
Z是分解到周期变化的离散序列
对于复数的情况，其实是一样的，只是基的选择改变了。
变换的好处就是，便于运算。
方波的分解
这个是方波（梯形波）的分解。可以直观看看出来，方波也是一系列正弦波的线性叠加（图示是8次），若分解的次数越多，叠加的波形就越匹配原始波形。
拉氏的变换也是基于此。
拉普拉斯高频拟合
从上图波形来看，一个正弦波在一个周期内采集了4个离散点（绿色波形所示），通过变换后，可得到完整的正弦波（黄色波形所示）。我们可以认为那4个点就是变换因子。
拉普拉斯变换公式1
拉普拉斯变换公式2
最后附带神奇的拉普拉斯的变换公式。你值得拥有。
傅里叶变换公式
1，公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。
2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
3、相关
傅里叶变换属于谐波分析。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
扩展资料：
根据原信号的不同类型，可以把傅里叶变换分为四种类别：
1、非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）
2、周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)
3、非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4、周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)
