1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的
平方和Sn=n(n+1)(2n+1)/6，
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后宏让搜得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
立方和Sn=[n(n+1)/2]^2，
推导：(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，蔽历
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
扩展资料：
平方和就是2个或多个数的平方相加。通常是一些
的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。
平方和公式：
证法五（拆分，直接推导法）：
22=1+3
32=1+3+5
42=1+3+5+7
(n-1)2=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n2=1+3+5+7+...+[2n-1]
……(*)
因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n2
代入(*)式，得：
分解步骤如下：
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
解题时常用它的变形：
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
(a-b)3=(a-b)(a-b)(a-b)=(a2滑笑-2ab+b2)(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3
立方和累加：
正整数范围中
数学归纳法
