矩阵的迹
聊聊宇宙“大爆炸理论”的基本内容
20世纪初期的天文观测发现了河外大多星系红移，得出了“宇宙膨胀”的结论。哈勃1923年发现了河外星系膨胀的速率（即退行速率）与地球同河外星系间的距离有正比关系（即哈勃定律），距离越远的星系就是退行越早的星系，那么，如果逆着时间回溯，宇宙将以越来越大的速率缩小，在某一时刻（选作t = 0）达到速度最大，这一时刻的密度无限大，称为大爆炸奇点。
由于宇宙无所不包，没有外界，其演化可看作绝热膨胀。据广义相对论（主要是爱因斯坦方程）的计算表明，宇宙的演化是从温度无限高的大爆炸奇点开始的，温度不断下降的绝热膨胀过程。
彭罗斯和霍金从1965年至1970年先是分别地后是合作地借用整体微分几何，证明了一系列奇点定理，断言只要某些合理条件得到满足，时空奇点就不可避免。
奇点定理表明时空曲率足够大时，经典广义相对论失效，那么，极早期宇宙就应存在一个量子时间（而不是无穷小的时间）,据量子力学,将这个时间应取为普朗克时间tp,这也与广义相对论的计算结果相符，也就是说我们只能讨论tp ～ 10^-43秒以后的演化史。
据爱因斯坦方程，早期宇宙以辐射为主。据量子场论，两个光子（辐射场）可转化为某种粒子的正反粒子对，还有，光子对应的矩阵的迹为零，而且是反对称矩阵。
所以，在tp后的一小段时间内宇宙温度奇高，大致地说，宇宙主要由能量极高的正反粒子对组成，包括夸克、轻子、传递相互作用的规范玻色子，以及目前尚未确证其存在性甚至未认识的粒子。这些高能粒子之间的频繁相互作用使它们共处于一个热平衡态中，也就是说，虽然宇宙不断膨胀，但在宇宙（特别是早期宇宙）的大部分历史中粒子之间的相互作用率远大于宇宙膨胀率，因此在早期宇宙的多数时段内可实现多种粒子的局域热平衡。
据热平衡辐射理论，辐射使温度降低，极早期宇宙中的质子和反质子及中子和反中子因成对湮灭辐射而消失，只剩下少量的质子和中子，就是说，当今宇宙存在着关于粒子和反粒子（物质和反物质）的不对称性。
随着温度进一步的降低，宇宙会存在大量电子和反电子（正电子）对，然而，由于温度和密度与前相比已明显降低，中微子（及反中微子）与其它粒子的相互作用率远小于宇宙膨胀率，它们的平均自由时间显著变长，近似成为与其它粒子无相互作用的自由粒子，就不再与其它粒子共处热平衡中，这称为中微子的退耦。
温度进一步降低，电子－反电子对迅速湮灭。
温度接着降低，质子同中子结合成氘核，继而是一系列后续反应而生成氚核、氦3和氦4。氦4作为主要产物逐渐积累，有一定丰度，称为原初氦丰度，从能观测到的氦丰度可推断原初氦丰度，观测丰度与理论丰度符合。
上述的原初核合成，产物有1/4的氦4 ，3/4的H和微量的氘、氚、锂，此时正反电子对全部湮灭，余少量电子以平衡质子电荷。
上述的一系列过程是在普朗克时间时间tp后约100秒的时间内完成的。
宇宙在原初核合成后较长一段时间内没有重大事件发生，直到时间t约为10^5年时，温度已经降到很低了，在这种温度下，原子核与电子开始在电磁作用下结合为中性原子（此前电子有足够能量挣脱核的电磁束缚），宇宙中的实物开始以电离状态（等离子体）向中性状态迅速转化。
在电离状态时，光子与带电粒子（特别是自由电子）有频繁的相互作用（如康普顿散射），因此在带电粒子结合为中性原子后，宇宙变得透明（光子的平均自由时间大大长于宇宙当今年龄），光子从实物粒子的热平衡“大家庭”中退耦而出并自成独立系统。
在退耦前，这些光子由于与实物粒子达到热平衡（类似于恒温箱中的光子与箱壁粒子的热平衡）其能量密度按波长的分布满足黑体辐射曲线，退耦后的光子虽然不再与实物粒子达到热平衡，其能量密度按波长的分布仍满足黑体辐射曲线。
估算表明退耦后的光子系统的当今温度约为3K，即，它们的能量密度按波长的分布由T～3K的那条黑体辐射曲线描述，而且是各向同性的。美国无线电工程师因在1965年意外地测到这种各向同性辐射而获1978年诺贝尔物理奖。
3K微波背景辐射的观测结果被认为是对宇宙学的标准模型的最有力支持。
暴涨宇宙模型是对标准模型的修正，在暴涨宇宙模型（基本思想是在宇宙极早期曾有过一次为时极短的指数式急剧加速膨胀）已被普遍接受的今天，一个普遍接受的想法是，今天的复杂结构起源于极早期宇宙中的密度涨落（又称扰动），原初扰动完全可由暴涨模型提供，引力对密度扰动有放大作用，那么就先形成恒星，星系，然后形成星系团和超团，这是当今被广泛接受的宇宙结构形成理论。
矩阵的迹是怎么定义的
认真阅读下面的文章，并思考文末互动提出的问题，严格按照 互动：你的答案格式在评论区留言，就有机会获得由江苏凤凰科学技术出版社提供的优质科普书籍《BBC宇宙三部曲》一套。
表示理论最初被人忽视。现在，它是许多数学研究的核心。
上图将李群直观地展现了出来。通过这种化繁为简的方式，数学家们得以理解复杂对象的方方面面。
19世纪晚期，表示理论出现时，许多数学家质疑它存在的价值。1897年，英国数学家威廉·伯恩赛德（William Burnside）说，他十分怀疑这些不正统的观点能产出什么新的结果。
悉尼大学的乔迪·威廉姆森（Geordie Williamson）在2015年的一次演讲中说：“伯恩赛德的的大意是：表示理论毫无用处。”
在登场一个多世纪之后，在许多最重要的数学发现中表示理论都是关键。然而最初，人们很难看到它的用武之地。
德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米莉·诺顿（Emily Norton）说：“它是一个合理的研究对象，这一点并不能马上就能看清楚。”
表示理论是一种将复杂对象用简单对象“表示”的方法。这里的“复杂对象”通常指的是数学对象的集合（比如数字或对称操作），并且他们之间的关系形成某种特定结构，这些集合称为群。而“简单对象”是数字阵列，称为矩阵，是线性代数的核心。群比较抽象，常常难于处理，而矩阵和线性代数却是十分基本的。
“数学家基本上对矩阵了如指掌，这是数学中为数不多被透彻理解的主题之一。”波士顿大学的贾里德·韦恩斯坦（Jared Weinstein）说。
为了理解矩阵如何表示群，我们有必要逐个看看它们都是什么。
首先，我们来介绍群。
举一个十分直白的例子，考虑等边三角形的六个对称性：
两个旋转对称（转120度或240度）；
三个镜面反射对称（沿等边三角形的三条中线反射）；
一个恒等对称性（不对三角形进行任何操作）。
两个旋转对称
三个镜面反射对称
一个恒等对称性
这六种对称操作形成了元素的一个封闭集合：群，学名是 S3。它们之所以形成群，是因为具有这样的性质：在其中选取任意多个操作，以任意顺序施加在这个三角形上，其结果都可以等效成为只进行了一次对称操作。
举个简单的例子：先对三角进行镜面反射，再将其旋转 120 度，这改变了三角形三个顶点的顺序。若进行另一种镜面反射，你会看到顶点顺序发生了相同的变化。
“我先这样操作，再那样操作。重要的是，结果仍旧是这个三角形的对称操作。”诺顿说。
数学家把两个对称操作的结合称为一个组合：群中的一个操作（反射）与另一个（旋转）组合，产生第三个（另一个反射）。你可以像数学家一样，将组合看作一种乘法运算。
“我们喜欢把操作看成是乘法，即使我不是在乘数字，我乘的是变换（transformations）。”诺顿说。
简单起见，我们可以考虑非零实数，加上定义的各种运算，它们也形成了一个群。任何实数“组合”或“乘以” 1 之后都保持不变。你也可以以任何顺序乘以任何实数，得到的结果还是一个实数。数学家称实数构成的群在乘法下“封闭”的，意思就是，若只是将元素相乘，得到的结果永远落在这个群内。
自从 1830 年左右被发现，群已经成为了数学中最重要的内容之一。他们将素数、几何空间等数学界几乎所有最关心的东西进行编码，解决一个重要的问题往往取决于理解与之有关的那个群。但对绝大多数群来说，理解起来比等边三角形可难多了。比如“李群”，它含有的可不是简简单单的六个元素，而是无穷多个。
“群有时真的特别复杂。”韦恩斯坦说。
这就说到了表示理论，它让我们从神秘的群的世界来到了可以很好地被约束的线性代数领域。
线性代数研究作用在向量（有向线段）上的简单变换。它们是用坐标来定义的，可以用矩阵（数字阵列）的形式表示出来。
一个矩阵作用在向量上，使之发生变换。比如，矩阵 ：
的作用是使向量长度伸展为原来的两倍。这是一个“线性”变换的例子。
其他矩阵会对向量进行不同种类的线性变换，如反射，旋转和剪切等。恒等矩阵不对向量产生任何改变（就像恒等对称性作用在三角形上或者1作用在实数上一样）：
线性代数将这些变换背后的算数过程具体化了。矩阵可以相乘、相加、相减，就像我们对普通的数字进行操作一样简单。
根据某些规则，对群里的每个元素分配一个矩阵——表示理论以这样的方式在群论和线性代数之间架起了一道桥梁。举例来说，群的恒元必须分配单位矩阵。这种分配必须照顾到群中元素之间的关系。如果一个反射操作乘一个旋转相当于第二个反射，那么他们所对应的矩阵也应满足前两者（第一个反射和旋转对应的矩阵）相乘等于后者（第二个反射对应的矩阵）。符合这些要求的矩阵的集合就称作群的一个表示。
表示给出了群的简化图像，就像黑白图片是原始色彩图片的低成本仿制一样。换句话来说，它“记住”了群的一些简单却本质的信息，但“忘掉”了其他的。数学家不想过分纠缠于群的全部复杂性，而是将其转换为线性变换这样的简约形式，然后通过观察其行为来把握其性质。
诺顿说：“我们不需要立刻着手研究群，看一看更小的表示就能理解一些关于群的性质。”
几乎所有群都有多种表示。比如S3群就有三个截然不同的实数矩阵表示：平凡表示、反射表示和符号表示。
数学家将群的表示整理归纳在一个表格——特征标表中。特征标表总结了群的信息，表格的各行对应着不同的表示，各列对应着表示中的重要矩阵：恒元和生成元（利用这两种群元可以构造出群的全部元素）的表示矩阵。表格的内容是各矩阵的迹，即将矩阵左上角到右下角这条对角线上的元素取和。下方是 S3群三个表示的特征标表：
特征标表提供了群的简化图像，其中的每个表示都提供了略微不同的信息。数学家将表示提供的各个角度结合起来，形成对群的整体印象。
“不同的表示’记忆’了不同的事情，当你把所有的信息放在一起时，某种程度上你就有了关于群的万花筒般的图像。”
上面的特征标表，数学家一看就知道是 S3群的。但是有时同一个特征标表可以表示多个群——做简化时无法避免一定程度的模糊或歧义。
对这些模糊的情形，数学家们有额外的工具可供使用，其中一种方法就是换一种数字系统来构造表示。上面 S3群的表示用的是实数矩阵，但是你也可以用复数矩阵（矩阵的每个矩阵元都由实数部分和虚数部分组成）。事实上，大多数表示理论都是这样做的。
有一些成果丰富的表示既不用实数也不用复数，它们的矩阵元是取自缩小后，或者说“取模”后的数字系统，我们称为“模”。以钟表数学的结构为例，在这里时针从 0 开始，绕过 7+6 小时后等于 1。两个拥有相同实数特征标表的群可能有不同的模表示特征标表，从而可以被区分开。
如今，表示理论是许多数学研究领域的核心工具：代数、拓扑、集合、数学物理和数论——包括影响深远的的朗兰兹纲领。
“在20世纪下半叶，表示理论的哲学在数学世界中疯狂开疆拓土。”在一次采访中，威廉姆森说。
表示理论——尤其是模表示——在1994年安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）对费马大定理(方程 an+bn=cn是否存在正整数解)的里程碑式证明中扮演了重要的角色。怀尔斯证明了当 n>2 时这样的正整数解是不存在的。大体来说，他认为如果存在这样的解，会导致一个群（或椭圆曲线）具有非常不寻常的性质。这些性质太不寻常以至于可以作为群不存在的证据。然而，直接证明是非常困难的。怀尔斯另辟蹊径，着手于这个群的一系列模表示。它证明了一系列的模表示无法存在，这就意味着这个群（或者椭圆曲线）无法存在，进而表明这个整数解也是无法存在的。
百年之前，威廉·伯恩赛德将表示理论弃之如敝履；百年之后，表示理论对 20 世纪最著名的证明至关重要。
韦恩斯坦说：“如果费马大定理最后的证明没有用表示理论，我不确定它是否还能被证明出来。”
作者：Kevin Hartnett
翻译：xux
审校：Nuor
原文链接：
https://www.quantamagazine.org/the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/
tian
福
tian
利
xiang
时
shang
间
今天我们将送出由江苏凤凰科学技术出版社提供的优质科普书籍《BBC宇宙三部曲》。
《BBC宇宙三部曲》——宇宙起源、宇宙之光、宇宙星尘，这套书是由BBC科普王牌团队精心打造，中科院专家团队翻译、审校。它打破传统写法，摒弃了长篇的资料堆砌，采用极简形式，着重讲述人类探索宇宙的历程，以及理解天文学的关键知识点。且选择天文学中最具代表性的三个主题：最根本的主题，宇宙起源；最关注的主题，恒星；最神秘的主题，小天体。透过它们就可以了解天文学的全貌。
【互动问题：你知道哪些由一个理论发展为一个学科的故事？】
请大家严格按照互动：问题答案的格式在评论区留言参与互动，格式不符合要求者无效。
*本活动仅限于微信平台
编辑：aki
矩阵的迹在哪一部分
矩阵的迹，就是矩阵主对角线上元素之和，英文叫Trace(迹)。
迹的最重要性质:一个矩阵的迹，和该矩阵的特征值之和，相等
