极坐标

极坐标和参数方程的删除,还有三角函数相关内容大量缩减最让人难理解的,在解决具体问题时,这些是最好用的工具之一。垂钓鱼岛

极坐标方程

在高中数学教材中,极坐标方程与参数方程相关知识内容,虽然有些属于选修内容,但随着高考改革的不断深入,对高中数学选修部分考查也有了更加新颖的方法。

如用极坐标方程去解决数学问题具有独特的优势,在极坐标(P,θ)中,P表示线段长度,灵活方便,并且能从极坐标方程中求出;θ表示角度,可使有关运算转化为三角函数式,计算有公式可循,因此它与直角坐标相比,有独特的功能,特别在处理圆锥曲线的弦、半径等问题中,极坐标具有一定的优越性。

在历年高考数学当中,与圆锥曲线有关的综合题型一直是高考重难点和热点问题之一,也是高中数学教学内容当中的难点问题。解决此类题型切入口宽,灵活程度大,计算繁琐,费时费力,正确率低。

解析几何的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念,建立平面上的点和坐标之间的一一对应,从而建立曲线的方程,并通过方程研究曲线的性质。

因此,一旦考生找不到准备解题方法,或解题方法不得当,就会陷入困境。若此时我们适时合理地选用极坐标方程或参数方程,借助于参数方程中参数的几何意义来解题,竜起到事半功倍的效果。

典型例题分析1:

考点分析:

参数方程化成普通方程.

题干分析:

(1)曲线C:(α为参数),利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程,.利用ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,即可化为直角坐标方程.直线l(t为参数),消去参数t可得普通方程.

(2)利用点到直线的距离公式圆心C(0,2)到直线l的距离d.可得A,B两点间距离

AB

的最小值=d﹣r.

对选修内容,不同的地区或不同学校会选择不一样的板块,但在高考中往往会把所有内容实行全部罗列,从中再让学生进行不同选择,这样就为不同学生发展提供了有利条件。

极坐标和参数方程是高中数学当中重要的知识点,也是高考数学考查的一个重要对象。在平时的数学学习过程中,我们要学会对极坐标和参数方程内容在高考中的考查和应用,进行了一个全面总结,让自己对相关考点和题型做到心里有数。

如在解析几何试题中,与圆锥曲线的同一焦点弦的两焦半径的长的有关问题是极为常见的,此类问题的多种解法中,用圆锥曲线的统一定义(极坐标)求焦半径长入手最简单椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:平面上与一定点F(焦点)的距离和一条定直线l的距离比为定值e的点的轨迹。

典型例题分析2:

考点分析:

简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

题干分析:

(I)曲线C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,展开把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得极坐标方程.由于直线l经过点P,倾斜角为π/6,可得参数方程:(t为参数).

(II)直线l的极坐标方程为:θ=π/6,代入曲线C的极坐标方程可得,利用

OA

OB

=

ρ1ρ2

即可得出.

?在高考复习阶段,我们要以研究高考试题来认识高考数学,把握重点,逐步提高数学综合能力。

高考数学对极坐标一般有这么几个要求:

1、能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。

2、能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

圆锥曲线的极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,虽然这块内容是独立的,但是它的解题方法不是独立的,可以进行知识迁移,用极坐标可以简解一些有关圆锥曲线问题的高考题。

典型例题分析3:

考点分析:

简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

题干分析:

(Ⅰ)由曲线C的参数方程(θ为参数)利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程.由ρsin(θ+π/4),得Ρ(sinθcosπ/4+cosθsinπ/4),

(II)解法1:由于点Q是曲线C上的点,则可设点Q的坐标,点Q到直线l的距离为d.利用三角函数的单调性值域即可得出.

解法2:设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m,与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0,令△=0,解得m即可得出.

自从“坐标”这个概念诞生以来,坐标思想就成为现代数学中最重要的基本思想之一,坐标系是联系几何与代数的桥梁,是数形结合的有力工具,利用它可以使数与形相互转化。

极坐标与直角坐标的互化

极坐标转换为直角坐标

转化方法及其步骤:

第一步:把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式

第二步:把cosθ化成x/ρ,把sinθ化成y/ρ;或者把ρcosθ化成x,把ρsinθ化成y

第三步:把ρ换成(根号下x2+y2);或将其平方变成ρ2,再变成x2+y2

第四步:把所得方程整理成让人心里舒服的形式.

例:把 ρ=2cosθ化成直角坐标方程.

将ρ=2cosθ等号两边同时乘以ρ,得到:ρ2=2ρcosθ

把ρ2用x2+y2代替,把ρcosθ用x代替,得到:x2+y2=2x

再整理一步,即可得到所求方程为:

(x-1)^2+y2=1

这是一个圆,圆心在点(1,0),半径为1

直角坐标转换为极坐标

第一:两个坐标原点重合.x轴相重合.

第二:长度单位相同.

第三:通常使用“弧度制”.

在此情况下,我们有设直角坐标系里的曲线上的一个任一点的坐标为A(x,y).则它在极坐标系里的坐标为A(ρ,θ).