真子集

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真子集是什么符号

1.2 集合间的基本关系

学 习 目 标

核 心 素 养

1.理解集合之间的包含与相等的含义.(重点)

2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.(难点、易混点)

3.在具体情境中,了解空集的含义.(难点)

1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解,培养数学抽象素养.

2.借助子集和真子集的求解,培养数学运算素养.

1.Venn图的优点及其表示

(1)优点:形象直观.

(2)表示:通常用封闭曲线的内部代表集合.

2.子集、真子集、集合相等的相关概念

思考1:(1)任何两个集合之间是否有包含关系?

(2)符号“∈”与“?”有何不同?

提示:(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.

(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系;

而“?”表示集合与集合之间的关系.

3.空集

(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为?.

(2)规定:空集是任何集合的子集.

思考2:{0}与?相同吗?

提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而?表示空集,其不含有任何元素,故{0}≠?.

4.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.

(2)对于集合A,B,C,

①若A?B,且B?C,则A?C;

②若A

B,B

C,则A

C.

(3)若A?B,A≠B,则A

B.

1.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是(  )

A.N∈M   B.N?M

C.N?M D.N?M

D [∵1∈{1,2,3},∴1∈M,

又2?N,∴N?M.]

2.下列四个集合中,是空集的为(  )

A.{0}

B.{x

x>8,且x<5}

C.{x∈N

x2-1=0}

D.{x

x>4}

B [满足x>8且x<5的实数不存在,故{x

x>8,且x<5}=?.]

3.集合{0,1}的子集有________个.

4 [集合{0,1}的子集有?,{0},{1},{0,1},共4个.]

4.已知集合A={x

x2-3x+2=0},B={1,2},C={x

x<8,x∈N},用适当的符号填空:

(1)A________B;(2)A________C;

(3){2}________C;(4)2________C.

(1)= (2)

 (3)

 (4)∈ [集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x

x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故(1)A=B;(2)A

C;(3){2}

C;(4)2∈C.]

集合间关系的判断

【例1】 判断下列各组中集合之间的关系:

(1)A={x

x是12的约数},B={x

x是36的约数};

(2)A={x

x是平行四边形},B={x

x是菱形},C={x

x是四边形},D={x

x是正方形};

(3)A={x

-1<x<4},B={x

x<5}.

[解] (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A

B.

(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而D

B

A

C.

(3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在元素,如-2∈B,但-2?A,故A

B.

判断集合关系的方法.

(1)观察法:一一列举观察.

(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.

(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.

提醒:若A?B和A

B同时成立,则A

B更能准确表达集合A,B之间的关系.

1.能正确表示集合M={x∈R

0≤x≤2}和集合N={x∈R

x2-x=0}关系的Venn图是(  )

B [解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N

M,其对应的Venn图如选项B所示.]

子集、真子集的个数问题

【例2】 已知集合M满足:{1,2}

M?{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.

[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:

含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};

含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};

含有5个元素:{1,2,3,4,5}.

故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

1.求集合子集、真子集个数的3个步骤

2.与子集、真子集个数有关的4个结论

假设集合A中含有n个元素,则有

(1)A的子集的个数有2n个.

(2)A的非空子集的个数有2n-1个.

(3)A的真子集的个数有2n-1个.

(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.

2.已知集合A={(x,y)

x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集.

[解] ∵A={(x,y)

x+y=2,x,y∈N},

∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.

∴A的子集有?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.

A的真子集有?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}.

,

由集合间的关系求参数

[探究问题]

集合A={x

1<x<b}中一定含有元素吗?当A中含有元素时,试用数轴表示其所包含的元素.

提示:不一定.当b≤1时,A=?,其不含有任何元素,当b>1时,集合A中的元素用数轴可表示为:

【例3】 已知集合A={x

-2≤x≤5},B={x

m+1≤x≤2m-1},若B

A,求实数m的取值范围.

[思路点拨] 

分B=?和B≠?结合数轴―→

[解] (1)当B=?时,

由m+1>2m-1,得m<2.

(2)当B≠?时,如图所示.

∴或

解这两个不等式组,得2≤m≤3.

综上可得,m的取值范围是{m

m≤3}.

1.若本例条件“A={x

-2≤x≤5}”改为“A={x

-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围.

[解] (1)当B=?时,由m+1>2m-1,得m<2.

(2)当B≠?时,如图所示,

∴解得即2≤m<3,

综上可得,m的取值范围是{m

m<3}.

2.若本例条件“B

A”改为“A?B”,其他条件不变,求m的取值范围.

[解] 当A?B时,如图所示,此时B≠?.

∴即∴m不存在.

即不存在实数m使A?B.

1.利用集合的关系求参数问题

(1)利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.

(2)空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论A=?和A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.

2.数学素养的建立

通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题.

1.A?B隐含着A=B和A

B两种关系.

2.求集合的子集时,可按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.

3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点:①不能忽视集合为?的情形;

②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.

(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.

1.思考辨析

(1)空集中只有元素0,而无其余元素.(  )

(2)任何一个集合都有子集.(  )

(3)若A=B,则A?B或B?A.(  )

(4)空集是任何集合的真子集.(  )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.集合A={x

0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是(  )

A.16   B.8

C.7 D.4

C [易知集合A={0,1,2},含有3个元素,∴A的真子集有23-1=7个.]

3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B?A,则实数m=________.

4 [由B?A可知,m=4.]

4.已知集合A={x

1≤x≤2},B={x

1≤x≤a,a≥1}.

(1)若A

B,求a的取值范围;

(2)若B?A,求a的取值范围.

[解] (1)若A

B,则集合A中的元素都在集合B中,且B中有不在A中的元素,则a>2.

(2)若B?A,则集合B中的元素都在集合A中,则a≤2.

因为a≥1,

所以1≤a≤2.

真子集个数公式

子集和真子集的公式是2n-1,如果集合A是集合B的子集,并且集合B不是集合A的子集,那么集合A叫做集合B的真子集。如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集。一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集。

记作A?B,读作“A包含于B”。即对于集合A与B,?x∈A有x∈B,则A?B。可知任一集合A是自身的子集,空集是任一集合的子集。