对称点
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对称点，叫做关于中心的对称点。
关于原点对称：如果已知一个点的坐标，是（X，Y）那么这个点关于原点对称的坐标就是（－X，－Y）
也可以理解为，这个点绕原点旋转180度后的点
(x,y)
关于x轴对称（x,-y)
关于y轴对称(-x,y)
关于原点对称(-x,-y)
扩展资料
点关于点的对称问题，是对称问题中的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
对称点是什么
今天在研究中考数学压轴题时，遇到一道超麻烦的问题，麻烦之处，在于它多次要求已知点关于已知直线的对称点坐标。
按照一般步骤，先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式，然后代入已知点的坐标，确定这条直线的解析式。
然后根据对称点所在直线的解析式，假设对称点的坐标。最后根据两点到直线距离相等，列关于对称点横坐标的方程，从而解得对称点的横坐标，并且得到对称点的坐标。
一番操作下来，还是比较繁的，架不住这道题三番两次要重复这个过程。因此老黄就想，如果有关于直线对称点坐标公式，那该多好多简便啊。
虽然网上有现成的公式，但是学习这件事情，老黄不想假手于人。因此老黄还是决定自己推导一下。没想到结果如此之复杂。设点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点, (A^2+B^2不等于0)。
按照上面叙述的一般过程，先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式：Bx-Ay+D=0, 代入已知点的坐标，求得D=Ay0-Bx0. 因此直线的解析式为：Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.
可设对称点的坐标为(x,(Bx+Ay0-Bx0)/A), 则：
Ax0+By0+C
=
Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C
，因为对称的两点在对称轴的两侧，所以
Ax0+By0+C+Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C=0，化简得：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),
(Bx+Ay0-Bx0)/A=B((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^3+AB^2)+y0-Bx0/A.
横坐标的公式还好说，纵坐标的公式就未免太复杂了。而且当A=0时，它是没有意义的。那怎么办呢？其实对称点的横坐标和纵坐标是具有一定的对称性的。我们可以由它的对称性，直接得到纵坐标y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2). 或者运用上面的推导过程再推导一次。
因此点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
(((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)) (A^2+B^2不等于0).
这个坐标公式，看起来想要记住还是有可能的。接下来检验一下它的正确性。
先举一个最简单的例子：比如点(2,1)关于横轴的对称点是(2,-1)，这里A=0，B=1, C=0, 因此对称点的坐标：
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=x0=2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=-y0=-1. 检验正确。
再随便举一个例子：比如点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点坐标记为(x,y)，这里A=3, B=-2, C=1. 则
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-5x0-6(-2y0+1))/13=1,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(5y0+4(3x0+1))/13=2.
所以点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点还是它本身，这一开始吓到了老黄，但仔细一点，原来点(1,2)在直线上，所以结果也是正确的。
凡事不过三，最后举一个例子：比如点(2, 3)关于直线2x+y-3=0的对称点记为(x,y)，这里A=2, B=1, C=-3. 则
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-3x0-4(y0-3))/5=-1.2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(3y0-2(2x0-3))/5=1.4
通过作图，结合求点关于直线的对称点坐标的一般方法。我们就可以检验这个答案是正确的。
你也可以继续举一些例子来检验。以后我们在求点关于直线的对称点坐标时，就可以直接运用这个坐标公式了。
对称点万能公式
设已知点为A（x0，y0）所求点为B(x1，y1)，已知直线L1方程为y=kx+b
解：点关于直线对称点的坐标
设直线为y=kx+b，已知点坐标为（x1，y1)，设其对称点坐标为（x2，y2)
由于此两点所在直线垂直直线y=kx+b，所以设其方程为y=-kx+a
将坐标（x1，y1)代入方程y=-kx+a，解得a=y1+kx1
所以直线方程为y=-kx+y1+kx1
所以两直线交点坐标为方程y=kx+b与y=-kx+y1+kx1的解
解得交点坐标为（（y1+kx1-b)/2k，（y1+kx1+b/2))
所以x+x1=2*(y1+kx1-b)/2k，y+y1=2*(y1+kx1+b/2)
所以对称点坐标为（（y1-b)/k，kx1+b)
对称函数
在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看出若输入变数排列后，方程式不会改变。例如对于一个球体．若φ为其方位角，θ为其天顶角，r为半径，则大圆距离可以表示为
根据上述的距离公式，可以看出一些对称性，在以下变换下，距离不变：
1、天顶角各加某特定角度。
2、其方位角对调、天顶角对调，或是两者都对调。
