正十七边形
1796年的中国和欧洲显得格外不同。这一年清朝嘉庆帝（爱新觉罗·颙琰）即位，国内爆发了规模巨大的白莲教反清大起义，清政府的统治陷入危机。
同年的欧洲，拿破仑率领法军远征意大利。19岁的德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯发表题为《正十七边形尺规作图之理论与方法》的论文。免疫学之父、英国医生、医学家爱德华·詹纳（Edward Jenner）发明牛痘疫苗。意大利科学家沃尔兹发明了世界上第一台蓄电池。法国科学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（Pierre-Simon marquis de Laplace）的著作《宇宙体系论》问世，提出关于行星起源的星云假说。
当年的中国在结束康乾盛世后走下坡路，欧洲的科技进步日新月异。
正十七边形有何意义
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯
19岁的高斯尺规做出正十七边形的传说：
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
正十七边形
见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。 青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这位青年就是数学王子高斯。
1828年高斯肖像
高斯当年并没有去画正十七边形 而是证明了哪些正多边形可以尺规作图
尺规作图的过程全部蕴含在代数式里了。
正十七边形的代数表示形式
首先随便画一条直线，这条直线的作用是记录，记录你作出过的所有长度。
圆规能够量取已经存在(已经做出线段)的所有长度，在哪量不是量，这条直线不管怎么样都是隐式存在的。
引理:记录器
记录器
引理:除法器
虽然N等分点相当于除以个整数,但是要获得更强大的除法计算能力就要构建除法器了。
除法器
引理:开根器
虽然勾股定理能开根，但是勾股定理有个局限性就是要求两条线段直角，对于单一的线段就只能使用开根器了。
开根器
反复使用记录器,加法器,除法器,开根器就能计算出一条长度正好为：
然后找出圆心角和所对弦的关系:
圆心角和所对弦的关系
所以
所对的圆心角就是
于是只要这么一个圆一个圆的接下去就能得到正17边形的所有点了，连起来即得正17边形。
组装过程显然有很多种，有往外组装，有向内组装，最终组装完的轨迹图形:
组装完的样子
组装动图展示：
组装过程
根据Duane W. DeTemple与Carlyle园 描述
使用直尺和圆规作十七边形的另一种方法如下：
另一种尺规作图
当年19年的高斯不会简简单单用尺规画出正十七边形，而是证明了更加深入本质的理论
由此可以得出最终的本质理论：多边形尺规作图问题等价于
是否能用二次根式表达。
小结：1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。但是高斯本人并没有用尺规做出正十七边形，事实上，完成证明之后正十七边形的做法对数学研究者是显而易见的。第一个真正的正十七边形尺规作图法是在1825年由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出的。
正十七边形高斯证明
高斯17边形的证明故事源于著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯的一段传奇经历。据说，高斯在他的学生时代就以数学的天赋和才智而闻名，而这个故事正是与他的数学天赋相关。
当高斯还是一个小学生时，他的老师想给学生一项任务，让他们计算出正多边形的内角和。传说中，这个题目曾是由勾股、柯西等一流数学家无法解决的难题。然而，高斯以惊人的思维能力和创新思维解决了这个问题。
据说，高斯是如何解决这个问题的呢？故事中，高斯一直思考这个问题，但找不到解决之道。直到有一天，他仰卧在花园的草地上，他突然看到天空中飞过的一群鸟，他发现它们形成了一个规则的飞行阵列。
通过观察鸟群的飞行形态，高斯灵感突发，他开始思考起在正多边形中，每个角的和到底是多少。他推理出每个角的和可以简化为等差数列的和，而且可以通过将正多边形划分为三角形来进行计算。
高斯随即开始推导，他发现规律后，数学天才的一面完全展现出来。他推导出，正多边形的内角和公式为 (n-2) × 180 度，其中 n 为多边形的边数。这一结论即是高斯17边形内角和为 (17-2) × 180 = 2700 度。
这个故事不仅展示了高斯的智慧与洞察力，还揭示了数学思维的力量和背后的美妙世界。高斯17边形证明的故事经常被用来鼓励年轻的数学爱好者，传达思考的重要性以及数学中隐藏着的智慧和美感
