快速傅里叶变换
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傅里叶变换原理。
今天我们来讲讲傅里叶变换。说道傅里叶变换可能很多人头都大了，主要是繁杂的数学公式推导，但实际上它只是一个时域函数与频域函数相互转化的工具而已。其强大之处在于通过频域操纵时域，使时城中很难处理的信号变得轻而易举。时域就是以时间为自变量，因变量随时间变化而变化。其图像称为时域图。频域是由一堆简单的三角函数构成，这些三角函数的振幅构成了振幅谱，三角函数的相位构成相位谱及频域只有振幅谱和相位谱两个图。总的来说就三个图，首先要找到的是构成，找到构成物质的最基本单位才能更好地认识物质。三角函数是最简单的拨，各种基本单位拨的叠加，得到不同的复杂性信号。
然后再将频域信号通过傅，里叶逆变换转为时城信号。首先是时域图，从左向右或从右向左，加的正弦信号都去除后，就得到一张非常干净的时城图。从前向后或从后向前观察的结果是振幅普。而正弦信号的振幅应该只是一半如图所示，但实际上的信号都不是离散的是连续的。这是观察过程的演示图，以水平轴为界去除相同的部分。剩下的就是相位普了。相位普如图所示，但这张相位谱不便于观察。我们将相位普翻转过来，就得到了与教材一样的相位谱了。其实就上从下往上观察得到的图同样的。如果相位普的相位很多，那么就可以认为是连续的相位谱了。下面做一下简单总结：从左右方向观察是时域图，从前后方向观察是振幅普，变换的时域与频域图像了。
此外在额外补充一个知识，就是低频信号描绘了轮廓，而高频信号描绘了细节。这里的图不太容易观察。在这张图中可以很明显的看到第一个低频信号决定了时城信号的大小。而后面的高频信号决定了时域信号的细节情况。弄懂了这个原理，在应用中就可以得心应手了。傅里叶变换的应用是非常广泛的。
傅里叶变换李永乐
提到卡农（Canon），你们首先想到的可能是电影《我的野蛮女友》中全智贤弹奏的那一首《Canon in D》。这是一个普遍存在的误解，卡农并非某支曲子独有的名字，而是类似于绝句、律诗这样的格式，凡是满足这样格式的曲子，统统都称为卡农。
卡农曲的基本点是一个单一的主题与它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。做这种事可以有许多方式，最简单的一种实现方式是轮唱，像《保卫黄河》，第一个声部先唱出主题，隔一段时间后，这一主题的“副本”在完全一样的调上加入演奏，在规定的时间结束后，第三个声部再加入演奏，唱出主题，以此类推。这样的演唱方式对于大部分的主题而言是难以和谐的。所以，某一主题能成为卡农曲的主题，它的每个音符必须起到多种作用——首先它是主题旋律的一部分，其次它还与所有共同演奏的不同声部产生和声——即在一个包含三个声部的曲子里，主题的每个音符除了要构成曲调，还要与主题上的另外两个音符构成和声。下面提供一支世界著名的卡农曲，结合上文描述的卡农特征，帮助大家更为直观地认识什么是卡农。
作曲家们似乎觉得只在时间上将每个声部分开显得过于简单，所以还存在更为复杂的卡农曲。第一种复杂的卡农是：主题的各个“副本”不仅在时间上，同时在音高上互相交错。除音高外，各个声部的速度不同也构成另一种复杂变化。仅在音高和速率上创新是远远不够的，这群人类历史上璀璨的天才还创作出了主题转位式、螃蟹式卡农来体现自己的才华。
一个个音符在天才们的手中，就像砖石一样被修筑成了美轮美奂的城堡。如果说卡农曲是修筑的城堡，那么小波变换（WF）就是完美拆解这座城堡的方法。
傅里叶变换：科学中最常用的变换
在数学或者信息科学中，变换表示对同一对象的不同描述。我们可以说9个苹果，也可以说3斤6两苹果——这两种描述都是我提在手里的苹果数量——这可能是我们日产生活中最常用的变换。我们简单的称将1个苹果和1两苹果“相关性”为4，这样我们可以说“1个苹果由4个‘1两苹果’组成”，“1两”和“1斤”这样的字眼被称为这个变换的变换基（当然这么说可能不太准确，但是这样能帮助我们理解什么是变换）。
傅里叶变换是科学中最常用的变换，它用频率（序列的变换速率）来描述时间序列。
上式的含义即为“一个幅度为2，频率为的正弦信号由1个频率和1个频率构成”。
下面我们看几个简单的例子，下面三幅图的原始信号都包含频率为100Hz, 200Hz, 300Hz的三种正弦信号，但是从序列本身来看它们之间还是存在明显的差异。经过傅里叶变换转换至频域，我们看不到任何差异(这里我们只保留了正频率部分，因为负频率部分与其对称)。这是由于傅里叶变换所用到的“基”是无限长度上的周期函数，而图1和图2的信号都是有限长度的正弦信号，傅里叶变换并不能识别出这样信号的不同。
图一：信号1及其傅里叶变换
图二：信号2及其傅里叶变换
图三：信号3及其傅里叶变换
小波变换：科学家谱写的卡农曲
小波变换提供了新的思路，其基函数是在时域上有限的信号。一组典型的基函数为被称为morlet小波基函数。
图四：Morlet小波函数
不同于无限长的正弦函数，morlet的定义域是有限的。图四展示的基本morlet函数的解析式为：
现在我们为基本的morlet函数引入两个新的参数，表示信号缩放的和信号位移的：
当、满足一定的规则的时候，这样的函数可以通过组合构成任意的序列，这样的一组函数被称为小波函数簇。最基本的小波函数可以视作一支卡农曲的主题，小波函数簇中的其他函数就是它的各个“副本”，不同的演奏速度对应不同的，不同的演奏时间对应参数，小波变换就是科学家们谱写的一支支卡农曲。我们来看看小波变换的工作情况：
图五：信号1及其小波变换
图六：信号2及其小波变换
图七：信号3及其小波变换
从图五至图七，很明显能看出某种频率的信号强度，以及其在什么时候开始，什么时候结束。这就完成了傅里叶变换不能做到的事情。当然小波变换还有许多复杂得多的理论，这里就不再展开。
结束语
回到卡农，最为理想的情况下，我们使用最初的卡农主题作为基本小波函数生成的小波函数簇，可以将卡农曲简单粗暴地解构成独立的若干个声部，同时还能知道这些声部什么时候加入演奏（通常来说这样的方法是不奏效的）。此外，由于morlet小波函数具有“绝对音准”，也是音乐信号处理的常用工具。
小波变换最初被应用在地震波信号的处理上，后来逐渐被其他领域借鉴。也许最初提出小波变换的法国科学家Jean Morlet(1931-2007)对卡农曲情有独钟，他在听到美妙的歌声时，想到了这个绝妙的点子。
fft快速傅里叶变换
FFT是不能把采样信号恢复为原来的连续信号的。FFT是对离散信号做快速傅立叶变换，得到信号的频谱，怎么和恢复原来的连续信号挂上钩了？对一个N点离散信号做FFT得到的依然是N点数值，这些数值就是各频率的分量；这N个点对应的频率是K*1/(N*Ts),K=0,1,2……N-1;Ts是采样间隔。
如果一个采样了的信号，采样频率是原信号最高频率的两倍以上，那么通过一个低通滤波器是可以无失真恢复出原信号的。
看看有关采样的章节你就可以知道为什么采样了的离散信号包含了原来连续信号的所有信息，以至于可以恢复出原信号。
然后再看看离散傅立叶变换，离散傅立叶级数和FFT（FFT是用来算离散傅里叶级数的快速算法），搞清楚FFT到底是什么。
